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Tautologie

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UNE Tautologie est une affirmation qui est toujours vraie en raison de sa structure - elle ne nécessite aucune hypothèse ni preuve pour déterminer sa vérité. Une tautologie ne nous donne aucune information authentique car elle ne fait que répéter ce que nous savons déjà. Ainsi, les tautologies sont généralement sans valeur comme preuve ou argument pour quoi que ce soit; l'exception étant lorsqu'une tautologie se produit lors du test de la validité d'un argument.

En mathématiques, «A = A» est une tautologie. Dans une logique formelle à deux valeurs (c'est-à-dire une logique basée sur les deux principes: (1) que rien ne peut être à la fois vrai et faux en même temps et de la même manière, et (2) que chaque affirmation est vraie ou fausse), les mentions «P → P» (interprétées en anglais comme «Si P alors P» ou parfois et moins précisément comme «P implique P»), «P v ~ P» (en anglais, «P ou non P» ou «Soit P est vrai ou non P est vrai '), et' P ↔ P '(interprété en anglais comme' P si et seulement si P 'ou parfois et moins précisément comme' P est logiquement équivalent à P ') sont tous des tautologies. Chacun d'eux est toujours vrai.

Certaines personnes considèrent les définitions comme des tautologies. Par exemple, «célibataire» est défini comme «homme non marié». «Célibataire» et «homme non marié» signifient la même chose, donc, selon au moins cette compréhension des définitions, définir «célibataire» comme «homme non marié» ne nous donne pas toute nouvelle information, elle relie simplement deux termes identiques.

Tautologies versus arguments valides

Dans la logique formelle, un argument est un ensemble de déclarations, dont une ou plusieurs (la prémisse ou les prémisses) est / sont proposées comme preuve pour une autre de ces déclarations (la conclusion). Un argument est déductivement valide si et seulement s'il confère la vérité, ce qui signifie qu'il a une structure qui garantit que si les prémisses sont vraies, alors la conclusion sera nécessairement vraie.

Certains arguments, mais pas tous, sont donc des tautologies. La forme d'argument Modus Ponens, par exemple, est valide mais n'est pas une tautologie. Modus Ponens a la forme:

  • (Première ou principale prémisse): Si P alors Q.
  • (Deuxième prémisse ou mineure): P est vrai.
  • (Conclusion): Ainsi Q est vrai.

Il est impossible que les deux prémisses de cet argument soient vraies et que la conclusion soit fausse. Tout argument de cette forme est valide, ce qui signifie qu'il est impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Mais cet argument n'est pas une simple tautologie car la conclusion n'est pas une simple reformulation des prémisses.

Mais l'argument suivant est à la fois valide et tautologique:

  • Prémisse: (toute déclaration) P.
  • Conclusion (cette même déclaration) P.

L'argument a la forme «Si P, alors P.» C'est en effet un argument valable car il n'y a aucun moyen que la prémisse puisse être vraie et la conclusion fausse. Mais c'est une validité vide car la conclusion est simplement une reformulation de la prémisse.

En fait, tous les arguments circulaires ont ce caractère: ils énoncent la conclusion comme l'une des prémisses. Bien sûr, la conclusion suivra alors nécessairement, car si une prémisse est vraie et que la conclusion est simplement une reformulation de cette prémisse, la conclusion découlera de la prémisse. Mais, bien qu'il soit techniquement valable, l'argument n'a aucune valeur pour transmettre des informations, des connaissances ou des preuves. C'est pourquoi les arguments circulaires doivent être rejetés, et pourquoi montrer qu'un argument est circulaire est suffisant pour montrer qu'il n'est pas bon: les arguments circulaires sont trivialement valides, mais ne valent pas pour établir leur conclusion.

Déclarations en tant que tautologies et découverte des tautologies

Certaines déclarations, en particulier les déclarations ou expressions logiques, peuvent être comprises comme étant des tautologies. Cela signifie que, sous toute interprétation de la vérité ou de la fausseté de ses éléments constitutifs, la déclaration entière est toujours vraie.

Par exemple, l'énoncé logique: «Il n'est pas vrai que la conjonction de P et de non-P soit vraie», symbolisé par «~ (P • ~ P)» (où ~ est le symbole de la négation et • est le symbole pour la conjonction) est une tautologie. Cela peut être montré par une table de vérité:

  • ~ (P • ~ P)
  • T (T F F T)
  • T (F F T F)

Cela signifie que si P est vrai ou faux, la conjonction de P et non-P est toujours fausse, donc la négation de cette conjonction est toujours vraie. (Montré dans le tableau ci-dessus en ayant «T» sous le signe de négation le plus à gauche, qui est l'opérateur principal de cette formule logique.)

Une déclaration incohérente est celle qui, quelle que soit la vérité ou la fausseté des parties constituantes, la déclaration entière est toujours fausse: l'exemple le plus simple d'une déclaration incohérente est n'importe quelle forme «P et non-P». Ainsi, la négation d'une déclaration incohérente est toujours vraie, ce qui signifie que la négation d'une déclaration incohérente est une tautologie.

De même, la négation d'une tautologie est incohérente, ce qui signifie qu'elle est toujours fausse.

Il est également vrai qu'un argument valable, s'il est exprimé dans un conditionnel avec la conjonction de ses prémisses comme antécédent du conditionnel et la conclusion comme conséquence du conditionnel, est une tautologie. En fait, c'est une méthode pour tester la validité des arguments sous forme de logique de phrase: construire un conditionnel avec la conjonction des prémisses comme antécédent et la conclusion comme conséquence, puis utiliser une table de vérité pour voir si la chose entière devient toujours vrai sous toutes les interprétations possibles de la vérité et de la fausseté pour ses parties constituantes.

Une telle construction aurait la forme, "(Prémisse 1 • Prémisse 2 •… Prémisse N c'est-à-dire, quelle que soit la prémisse de l'argument) → (Conclusion)»

Nous pouvons utiliser l'exemple de Modus Tollens, qui a la forme:

  • (Prémisse principale) Si P alors Q
  • (Local mineur) Pas Q
  • (Conclusion) Pas P

En faisant une conjonction de l'argument, comme indiqué ci-dessus, nous obtiendrions: (P → Q) • (~ Q) → ~ P

La construction d'une table de vérité nous donnerait:

  • (P → Q) • (~ Q) → ~ P
  • (T T T) F (FT) T FT
  • (T F F) F (TF) T FT
  • (F T T) F (FT) T TF
  • (F T F) T (TF) T TF

Dans tous les cas, la valeur de vérité sous l'opérateur principal - qui est la valeur de vérité pour l'expression entière (dans cet exemple, c'est la flèche droite joignant les parties gauche et droite de la formule) - est vraie, ce qui signifie que toute interprétation de la vérité ou de la fausseté pour P ou Q produira la vérité pour la formule logique entière, donc la formule entière est une tautologie, qui montre que la forme logique originale de modus tollens est valable.

Le problème avec la construction de tables de vérité pour des arguments ayant plus de quelques variables est que les tables de vérité sont limitées par le fait que le nombre de interprétations logiques (ou missions de valeur de vérité) qui doivent être vérifiées augmente de 2k, où k est le nombre de variables dans la formule. Ainsi, une table de vérité pour trois variables aura huit lignes et une pour quatre variables aura 16 lignes, ce qui signifie qu'elle deviendra lourde.

Ainsi, la déduction naturelle ou d'autres méthodes de vérification des formules deviennent rapidement une nécessité pratique pour surmonter la «force brute». une recherche exhaustive stratégies de procédures tabulaires de décision.

Il existe également des tautologies pour la logique de quantification. L'expression «pour tout x, la conjonction de Fx et non de Fx est fausse» est une tautologie. De la même manière, l'expression "Il n'y a pas de x tel que Fx et non Fx soit vrai" est également une tautologie. Une exploration plus approfondie de cela nécessiterait l'étude et le développement d'une logique de quantification.

Les références

Presque tous les manuels de logique - et il y en a maintenant des centaines - contiennent une ou plusieurs sections sur les tautologies.

Trois de ces manuels représentatifs sont:

  • Copi, Irving M. et Carl Cohen. Introduction à la logique. Prentice Hall. (De nombreuses éditions; la dernière, de 2004, est la 12e.)
  • Hurley, Patrick J. Une introduction concise à la logique. Belmont, Californie: Wadsworth / Thompson Learning. (De nombreuses éditions; la dernière est la 9e.)
  • Johnson, Robert M. Fondements du raisonnement: un livre logique. Belmont, Californie: Wadsworth. (La dernière est la 4e édition.)

Également:

  • Reese, William L. "Tautologie", dans Dictionnaire de philosophie et de religion, édition nouvelle et agrandie. Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1996.

Liens externes

Tous les liens ont été récupérés le 17 novembre 2015.

Sources de philosophie générale

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