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Vibration fait référence aux oscillations mécaniques autour d'un point d'équilibre. Les oscillations peuvent être périodiques, comme le mouvement d'un pendule, ou aléatoires, comme le mouvement d'un pneu sur une route de gravier. Les vibrations sont étroitement liées au son, qui prend la forme d '«ondes de pression». Ces ondes sont générées par des structures vibrantes, telles que des cordes vocales, des instruments de musique et des haut-parleurs. Les mêmes ondes peuvent induire la vibration d'autres structures, telles que le tympan.

De nombreux types de vibrations sont jugés indésirables, car ils gaspillent de l'énergie et créent des sons indésirables, que la plupart des gens appellent du bruit. Par exemple, les mouvements vibratoires des moteurs, des moteurs électriques ou de tout appareil mécanique en fonctionnement sont généralement indésirables. De telles vibrations peuvent être causées par des déséquilibres dans les pièces en rotation, des frottements inégaux, l'engrènement des dents d'engrenage, etc. Des conceptions soigneuses sont nécessaires pour minimiser les vibrations indésirables.

L'un des modes de vibration possibles d'un tambour circulaire.L'un des modes de vibration possibles d'un faisceau en I en porte-à-faux.

Types de vibrations

Vibration gratuite se produit lorsqu'un système mécanique est déclenché avec une entrée initiale puis laissé vibrer librement. Des exemples de ce type de vibration tirent un enfant sur une balançoire, puis le lâchent ou frappent un diapason et le laissent sonner. Le système mécanique va alors vibrer à une ou plusieurs de ses "fréquences naturelles" et s'atténuer à zéro.

Vibration forcée c'est lorsqu'une force ou un mouvement alternatif est appliqué à un système mécanique. Des exemples de ce type de vibration comprennent un usinage de lavage par secouage dû à un déséquilibre, une vibration de transport (causée par un moteur de camion, des ressorts, une route, etc.) ou la vibration d'un bâtiment pendant un tremblement de terre. En vibration forcée, la fréquence de la vibration est la fréquence de la force ou du mouvement appliqué, l'ordre de grandeur dépendant du système mécanique réel.

Test de vibration

Les tests de vibration sont réalisés en introduisant une fonction de forçage dans une structure, généralement avec un certain type d'agitateur. Généralement, un ou plusieurs points sur la structure sont maintenus à un niveau de vibration spécifié. Deux types typiques de tests de vibration effectués sont le test aléatoire et le test sinusoïdal. Des tests sinus sont effectués pour évaluer la réponse structurelle du dispositif testé (DUT). Un test aléatoire est généralement effectué pour reproduire de plus près un environnement réel.

La plupart des tests de vibration sont effectués dans l'axe vertical. Certains peuvent être conduits horizontalement, sur plusieurs axes ou en rotation.

Analyse des vibrations

Les principes fondamentaux de l'analyse des vibrations peuvent être compris en étudiant le modèle simple amortisseur masse-ressort. En effet, même une structure complexe telle qu'une carrosserie automobile peut être modélisée comme une "sommation" de modèles simples amortisseur masse-ressort. Le modèle masse-ressort-amortisseur est un exemple d'un simple oscillateur harmonique. Les mathématiques utilisées pour décrire son comportement sont identiques à d'autres oscillateurs harmoniques simples tels que le circuit RLC.

Remarque: Dans cet article, les dérivations mathématiques étape par étape ne seront pas incluses, mais se concentreront sur les principales équations et concepts de l'analyse des vibrations. Veuillez vous référer aux références à la fin de l'article pour des dérivations détaillées.

Vibration libre sans amortissement

Pour commencer l'étude de l'amortisseur masse-ressort, nous supposerons que l'amortissement est négligeable et qu'aucune force externe n'est appliquée à la masse (c'est-à-dire une vibration libre).

La force appliquée à la masse par le ressort est proportionnelle à la quantité d'étirement du ressort "x" (nous supposerons que le ressort est déjà comprimé en raison du poids de la masse). La constante de proportionnalité, k, est la rigidité du ressort et a des unités de force / distance (par exemple lbf / in ou N / m)

La force générée par la masse est proportionnelle à l'accélération de la masse telle qu'elle est donnée par la deuxième loi de mouvement de Newton.

La somme des forces sur la masse génère alors cette équation différentielle ordinaire:

Mouvement harmonique simple du système masse-ressort

Si nous supposons que nous commençons le système à vibrer en étirant le ressort de la distance de UNE et en lâchant prise, la solution à l'équation ci-dessus qui décrit le mouvement de masse est:

Cette solution dit qu'elle va osciller avec un simple mouvement harmonique qui a une amplitude de UNE et une fréquence de Le nombre est l'une des quantités les plus importantes dans l'analyse des vibrations et est appelée fréquence naturelle non amortie. Pour le système simple masse-ressort, est défini comme:

Remarque: fréquence angulaire () avec les unités de radians par seconde est souvent utilisé dans les équations car il simplifie les équations, mais est normalement converti en fréquence «standard» (unités de Hz ou cycles équivalents par seconde) lors de l'indication de la fréquence d'un système.

Si vous connaissez la masse et la rigidité du système, vous pouvez déterminer la fréquence à laquelle le système vibrera une fois qu'il sera mis en mouvement par une perturbation initiale en utilisant la formule indiquée ci-dessus. Chaque système vibrant a une ou plusieurs fréquences naturelles qu'il va vibrer dès qu'il est perturbé. Cette relation simple peut être utilisée pour comprendre en général ce qui arrivera à un système plus complexe une fois que nous ajouterons la masse ou la rigidité. Par exemple, la formule ci-dessus explique pourquoi quand une voiture ou un camion est complètement chargé, la suspension sera plus douce que déchargée car la masse a augmenté et a donc réduit la fréquence naturelle du système.

Qu'est-ce qui fait vibrer le système sans force?

Ces formules décrivent le mouvement résultant, mais elles n'expliquent pas pourquoi le système oscille. La raison de l'oscillation est due à la conservation de l'énergie. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons prolongé le ressort d'une valeur de UNE et ont donc stocké de l'énergie potentielle () au printemps. Une fois que nous avons lâché le ressort, le ressort essaie de revenir à son état non étiré et, ce faisant, accélère la masse. Au point où le ressort a atteint son état non étiré, il n'a plus d'énergie stockée, mais la masse a atteint sa vitesse maximale et donc toute l'énergie a été transformée en énergie cinétique (). La masse commence alors à décélérer car elle comprime maintenant le ressort et, ce faisant, retransmet l'énergie cinétique à son potentiel. Ce transfert d'avant en arrière de l'énergie cinétique dans la masse et de l'énergie potentielle dans le ressort fait osciller la masse.

Dans ce modèle simple, la masse continuera à osciller pour toujours à la même ampleur, mais dans un système réel, il y a toujours quelque chose appelé amortissement qui dissipe l'énergie et donc le système qui finit par l'amener au repos.

Vibration libre avec amortissement

Nous ajoutons maintenant un amortisseur "visqueux" au modèle qui produit une force proportionnelle à la vitesse de la masse. L'amortissement est appelé visqueux car il modélise les effets d'un objet dans un fluide. La constante de proportionnalité c est appelé coefficient d'amortissement et a des unités de Force sur la vitesse (lbf s / in ou N s / m).

En additionnant les forces sur la masse, il donne l'équation différentielle ordinaire suivante:

La solution de cette équation dépend de la quantité d'amortissement. Si l'amortissement est suffisamment petit, le système continuera de vibrer, mais finira par s'arrêter avec le temps. Ce cas est appelé sous-amortissement - ce cas présente le plus d'intérêt pour l'analyse des vibrations. Si nous augmentons l'amortissement juste au point où le système n'oscille plus, nous atteignons le point de amortissement critique (si l'amortissement augmente après l'amortissement critique, le système est appelé suramorti). La valeur que le coefficient d'amortissement doit atteindre pour l'amortissement critique dans le modèle d'amortisseur à ressort de masse est:

Pour caractériser la quantité d'amortissement dans un système, un rapport appelé rapport d'amortissement (également connu sous le nom de facteur d'amortissement et% d'amortissement critique) est utilisé. Ce rapport d'amortissement n'est qu'un rapport de l'amortissement réel sur la quantité d'amortissement nécessaire pour atteindre l'amortissement critique. La formule du rapport d'amortissement () du modèle d'amortisseur à ressort de masse est:

Par exemple, les structures métalliques (par exemple, le fuselage d'un avion, le vilebrequin du moteur) auront des facteurs d'amortissement inférieurs à 0,05 tandis que les suspensions automobiles se situent entre 0,2 et 0,3.

La solution au système sous-amorti pour le modèle d'amortisseur à ressort de masse est la suivante:

La valeur de X, la magnitude initiale, et , le déphasage, sont déterminés par la quantité d'étirement du ressort. Les formules de ces valeurs se trouvent dans les références.

Les principaux points à noter de la solution sont le terme exponentiel et la fonction cosinus. Le terme exponentiel définit la vitesse à laquelle le système «amortit» vers le bas - plus le rapport d'amortissement est élevé, plus il amortit rapidement jusqu'à zéro. La fonction cosinus est la partie oscillante de la solution, mais la fréquence des oscillations est différente du cas non amorti.

La fréquence dans ce cas est appelée la "fréquence naturelle amortie" et est lié à la fréquence naturelle non amortie par la formule suivante:

La fréquence naturelle amortie est inférieure à la fréquence naturelle non amortie, mais dans de nombreux cas pratiques, le rapport d'amortissement est relativement faible et donc la différence est négligeable. Par conséquent, la description amortie et non amortie est souvent supprimée lors de l'indication de la fréquence naturelle (par exemple, avec un rapport d'amortissement de 0,1, la fréquence naturelle amortie n'est que de 1% inférieure à celle non amortie).

Les tracés sur le côté montrent comment les rapports d'amortissement de 0,1 et 0,3 affectent la façon dont le système «résonnera» avec le temps. Ce qui est souvent fait en pratique, c'est de mesurer expérimentalement la vibration libre après un impact (par exemple avec un marteau) puis de déterminer la fréquence naturelle du système en mesurant le taux d'oscillation ainsi que le taux d'amortissement en mesurant le taux de décroissance . La fréquence naturelle et le rapport d'amortissement sont non seulement importants pour les vibrations libres, mais ils caractérisent également le comportement d'un système en cas de vibrations forcées.

Vibrations forcées avec amortissement

Dans cette section, nous examinerons le comportement du modèle d'amortisseur de masse à ressort lorsque nous ajoutons une force harmonique dans le formulaire ci-dessous. Une force de ce type pourrait par exemple être générée par un déséquilibre tournant.

Si nous additionnons à nouveau les forces sur la masse, nous obtenons l'équation différentielle ordinaire suivante:

La solution à l'état stable de ce problème peut s'écrire:

Le résultat indique que la masse oscillera à la même fréquence, f, de la force appliquée, mais avec un déphasage .

L'amplitude de la vibration «X» est définie par la formule suivante.

Où «r» est défini comme le rapport de la fréquence de force harmonique sur la fréquence naturelle non amortie du modèle masse-ressort-amortisseur.

Le déphasage, , est défini par la formule suivante.

Le tracé de ces fonctions, appelé «la réponse en fréquence du système», présente l'une des caractéristiques les plus importantes de la vibration forcée. Dans un système légèrement amorti lorsque la fréquence de forçage s'approche de la fréquence naturelle () l'amplitude de la vibration peut devenir extrêmement élevée. Ce phénomène est appelé résonance (Par la suite, la fréquence naturelle d'un système est souvent appelée fréquence de résonance). Dans les systèmes de palier de rotor, toute vitesse de rotation qui excite une fréquence de résonance est appelée vitesse critique.

Si la résonance se produit dans un système mécanique, elle peut être très nocive, entraînant éventuellement une défaillance du système. Par conséquent, l'une des principales raisons de l'analyse des vibrations est de prédire quand ce type de résonance peut se produire, puis de déterminer les mesures à prendre pour l'empêcher de se produire. Comme le montre le graphique d'amplitude, l'ajout d'amortissement peut réduire considérablement l'amplitude de la vibration. En outre, l'amplitude peut être réduite si la fréquence naturelle peut être décalée de la fréquence de forçage en modifiant la rigidité ou la masse du système. Si le système ne peut pas être changé, la fréquence de forçage peut peut-être être décalée (par exemple, changer la vitesse de la machine générant la force).

Voici quelques autres points concernant la vibration forcée montrée dans les tracés de réponse en fréquence.

  • A un rapport de fréquence donné, l'amplitude de la vibration, X, est directement proportionnelle à l'amplitude de la force (par exemple, si l'on double la force, la vibration double)
  • Avec peu ou pas d'amortissement, la vibration est en phase avec la fréquence de forçage lorsque le rapport de fréquence r <1 et 180 degrés déphasés lorsque le rapport de fréquence r >1
  • Lorsque r << 1, l'amplitude n'est que la déviation du ressort sous la force statique . Cette déviation est appelée la déviation statique . Par conséquent, lorsque r << 1, les effets de l'amortisseur et de la masse sont minimes.
  • Lorsque r >> 1, l'amplitude de la vibration est en fait inférieure à la déviation statique . Dans cette région, la force générée par la masse (F = ma) est dominante car l'accélération vue par la masse augmente avec la fréquence. Depuis la déviation vue au printemps, X, est réduite dans cette région, la force transmise par le ressort (F=kx) à la base est réduite. Par conséquent, le système amortisseur masse-ressort isole la force harmonique de la base de montage, appelée isolation des vibrations. Fait intéressant, plus d'amortissement réduit en fait les effets de l'isolation des vibrations lorsque r >> 1 car la force d'amortissement (F=CV) est également transmis à la base.

Qu'est-ce qui cause la résonance?

La résonance est simple à comprendre si vous voyez le ressort et la masse comme des éléments de stockage d'énergie, la masse stockant l'énergie cinétique et le ressort stockant l'énergie potentielle. Comme discuté précédemment, lorsque la masse et le ressort n'ont aucune force agissant sur eux, ils transfèrent l'énergie d'avant en arrière à une vitesse égale à la fréquence naturelle. En d'autres termes, si l'énergie doit être efficacement pompée dans la masse et le ressort, la source d'énergie doit alimenter l'énergie à un taux égal à la fréquence naturelle. Appliquer une force à la masse et au ressort revient à pousser un enfant sur la balançoire, il faut pousser au bon moment si vous voulez que la balançoire monte de plus en plus. Comme dans le cas du swing, la force appliquée ne doit pas nécessairement être élevée pour obtenir de grands mouvements; les poussées ont juste besoin de continuer à ajouter de l'énergie dans le système.

L'amortisseur, au lieu de stocker de l'énergie, dissipe de l'énergie. La force d'amortissement étant proportionnelle à la vitesse, plus le mouvement est important, plus l'amortisseur dissipe l'énergie. Par conséquent, un moment viendra où l'énergie dissipée par l'amortisseur sera égale à l'énergie fournie par la force. À ce stade, le système a atteint son amplitude maximale et continuera de vibrer à ce niveau tant que la force appliquée reste la même. S'il n'y a pas d'amortissement, il n'y a rien pour dissiper l'énergie et donc théoriquement le mouvement continuera de croître à l'infini.

Application de forces "complexes" au modèle masse-ressort-amortisseur

Dans une section précédente, seule une force harmonique simple a été appliquée au modèle, mais celle-ci peut être considérablement étendue à l'aide de deux puissants outils mathématiques. La première est la transformée de Fourier qui prend un signal en fonction du temps (domaine temporel) et le décompose en ses composantes harmoniques en fonction de la fréquence (domaine fréquentiel). Par exemple, appliquons une force au modèle masse-ressort-amortisseur qui répète le cycle suivant: une force égale à 1 newton pendant 0,5 seconde puis aucune force pendant 0,5 seconde. Ce type de force a la forme d'une onde carrée de 1 Hz.

Comment une onde carrée de 1 Hz peut être représentée comme une somme d'ondes sinusoïdales (harmoniques) et du spectre de fréquences correspondant

La transformée de Fourier de l'onde carrée génère un spectre de fréquences qui présente l'amplitude des harmoniques qui composent l'onde carrée (la phase est également générée, mais est généralement moins préoccupante et, par conséquent, n'est souvent pas tracée). La transformée de Fourier peut également être utilisée pour analyser des fonctions non périodiques telles que les transitoires (par exemple, les impulsions) et les fonctions aléatoires. Avec l'avènement de l'ordinateur moderne, la transformée de Fourier est presque toujours calculée en utilisant l'algorithme informatique de transformation de Fourier rapide (FFT) en combinaison avec une fonction de fenêtre.

Dans le cas de notre force d'onde carrée, la première composante est en fait une force constante de 0,5 newton et est représentée par une valeur à "0" Hz dans le spectre de fréquence. La composante suivante est une onde sinusoïdale de 1 Hz avec une amplitude de 0,64. Ceci est indiqué par la ligne à 1 Hz. Les composants restants sont à des fréquences impaires et il faut une quantité infinie d'ondes sinusoïdales pour générer l'onde carrée parfaite. Par conséquent, la transformée de Fourier vous permet d'interpréter la force comme une somme de forces sinusoïdales appliquées au lieu d'une force plus "complexe" (par exemple, une onde carrée).

Dans la section précédente, la solution de vibration a été donnée pour une seule force harmonique, mais la transformée de Fourier donnera en général plusieurs forces harmoniques. Le deuxième outil mathématique, "le principe de superposition", vous permet de résumer les solutions de forces multiples si le système est linéaire. Dans le cas du modèle ressort-masse-amortisseur, le système est linéaire si la force du ressort est proportionnelle au déplacement et l'amortissement est proportionnel à la vitesse sur la plage de mouvement d'intérêt. Par conséquent, la solution au problème avec une onde carrée résume la vibration prédite de chacune des forces harmoniques trouvées dans le spectre de fréquence de l'onde carrée.

Modèle de réponse en fréquence

Nous pouvons voir la solution d'un problème de vibration comme une relation entrée / sortie - où la force est l'entrée et la sortie est la vibration. Si l'on représente la force et la vibration dans le domaine fréquentiel (amplitude et phase) on peut écrire la relation suivante:

est appelée la fonction de réponse en fréquence (également appelée fonction de transfert, mais pas techniquement aussi précise) et possède à la fois une composante d'amplitude et de phase (si elle est représentée par un nombre complexe, une composante réelle et imaginaire). L'amplitude de la fonction de réponse en fréquence (FRF) a été présentée précédemment pour le système masse-ressort-amortisseur.

La phase du FRF a également été présentée précédemment comme suit:

Par exemple, calculons le FRF pour un système masse-ressort-amortisseur avec une masse de 1 kg, une rigidité de ressort de 1,93 N / mm et un rapport d'amortissement de 0,1. Les valeurs du ressort et de la masse donnent une fréquence naturelle de 7 Hz pour ce système spécifique. Si nous appliquons l'onde carrée de 1 Hz de la précédente, nous pouvons calculer la vibration prévue de la masse. La figure illustre la vibration qui en résulte. Il arrive dans cet exemple que la quatrième harmonique de l'onde carrée tombe à 7 Hz. La réponse en fréquence de l'amortisseur masse-ressort produit donc une vibration élevée de 7 Hz même si la force d'entrée avait une harmonique de 7 Hz relativement faible. Cet exemple montre que la vibration résultante dépend à la fois de la fonction de forçage et du système auquel la force est appliquée.

Modèle de réponse en fréquence.

La figure montre également la représentation dans le domaine temporel de la vibration résultante. Cela se fait en effectuant une transformée de Fourier inverse qui convertit les données du domaine fréquentiel en domaine temporel. En pratique, cela se fait rarement car le spectre de fréquences fournit toutes les informations nécessaires.

La fonction de réponse en fréquence (FRF) ne doit pas nécessairement être calculée à partir de la connaissance de la masse, de l'amortissement et de la rigidité du système, mais peut être mesurée expérimentalement. Par exemple, si vous appliquez une force connue et balayez la fréquence, puis mesurez la vibration résultante, vous pouvez calculer la fonction de réponse en fréquence, puis caractériser le système. Cette technique est utilisée dans le domaine de l'analyse modale expérimentale pour déterminer les caractéristiques vibratoires d'une structure.

Systèmes à degrés de liberté multiples et formes de modes

Le modèle simple d'amortisseur masse-ressort est le fondement de l'analyse des vibrations, mais qu'en est-il des systèmes plus complexes? Le modèle masse-ressort-amortisseur décrit ci-dessus est appelé modèle à un seul degré de liberté (DOF) car nous avons supposé que la masse ne se déplace que de haut en bas. Dans le cas de systèmes plus complexes, nous devons discrétiser le système en plusieurs masses et leur permettre de se déplacer dans plus d'un degré de liberté en ajoutant une direction. Les principaux concepts de degrés de liberté multiples (MDOF) peuvent être compris en examinant uniquement un modèle à 2 degrés de liberté, comme indiqué sur la figure.

Modèle à 2 degrés de liberté.

Les équations de mouvement du système 2DOF se révèlent être:

On peut réécrire cela au format matriciel:

Une forme plus compacte de cette équation matricielle peut s'écrire:

, , et sont des matrices symétriques appelées respectivement les matrices de masse, d'amortissement et de rigidité. Les matrices sont des matrices carrées NxN où N est le nombre de degrés de liberté du système.

Dans l'analyse suivante, nous considérerons le cas où il n'y a pas d'amortissement et pas de forces appliquées (c'est-à-dire des vibrations libres). La solution d'un système visqueusement amorti est un peu plus compliquée et est montrée dans Maia.1

Cette équation différentielle peut être résolue en supposant le type de solution suivant:

Remarque: en utilisant la solution exponentielle de est une astuce mathématique utilisée pour résoudre des équations différentielles linéaires. Si nous utilisons la formule d'Euler et prenons uniquement la partie réelle de la solution, il s'agit de la même solution cosinus pour le système 1 DOF. La solution exponentielle n'est utilisée que parce qu'elle est plus facile à manipuler mathématiquement.

L'équation devient alors:

Puisque ne peut pas être égal à zéro, l'équation se réduit comme suit.

Problème de valeur propre

Ceci fait référence à un problème de valeur propre en mathématiques et peut être mis au format standard en multipliant l'équation par

et si on laisse et

La solution au problème se traduit par N valeurs propres (c'est à dire. ), où N correspond au nombre de degrés de liberté. Les valeurs propres fournissent les fréquences naturelles du système. Lorsque ces valeurs propres sont replacées dans l'ensemble d'équations d'origine, les valeurs de qui correspondent à chaque valeur propre sont appelés vecteurs propres. Ces vecteurs propres représentent les formes de mode du système. La solution d'un problème de valeurs propres peut être assez lourde (en particulier pour les problèmes avec de nombreux degrés de liberté), mais heureusement, la plupart des programmes d'analyse mathématique ont des routines de valeurs propres.

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont souvent écrits dans le format matriciel suivant et décrivent le modèle modal du système:

et

Un exemple simple utilisant notre modèle 2 DOF peut aider à illustrer les concepts. Que les deux masses aient une masse de 1 kg et que la rigidité des trois ressorts soit égale à 1000 N / m. La matrice de masse et de rigidité pour ce problème est alors:

et

ensuite .

Les valeurs propres pour ce problème données par une routine de valeurs propres seront:

Les fréquences naturelles dans les unités de hertz sont alors (rappelant ) et .

Les deux formes de mode pour les fréquences naturelles respectives sont données comme suit:

Puisque le système est un système à 2 DOF, il existe deux modes avec leurs fréquences et formes naturelles respectives. Les vecteurs de forme de mode ne sont pas le mouvement absolu, mais décrivent simplement le mouvement relatif des degrés de liberté. Dans ce cas, le premier vecteur de forme de mode dit que les masses se déplacent ensemble en phase car elles ont la même valeur et le même signe. Dans le cas du deuxième vecteur de forme de mode, chaque masse se déplace dans la direction opposée au même rythme.

Illustration d'un problème DOF multiple

Lorsqu'il existe de nombreux degrés de liberté, la meilleure méthode pour visualiser les formes de mode consiste à les animer. Un exemple de formes en mode animé est illustré dans la figure ci-dessous pour un faisceau en I en porte-à-faux. Dans ce cas, un modèle d'éléments finis a été utilisé pour générer les matrices de masse et de rigidité et résoudre le problème des valeurs propres. Même ce modèle relativement simple a plus de 100 degrés de liberté et donc autant de fréquences naturelles et de formes de modes. En général, seuls les premiers modes sont importants.

Les formes de mode d'une poutre en I en porte-à-faux
1ère flexion latérale1er torsion1er pliage vertical
2ème flexion latérale2e torsion2e flexion verticale

Plusieurs problèmes DOF ​​convertis en un seul problème DOF

Les vecteurs propres ont des propriétés très importantes appelées propriétés d'orthogonalité. Ces propriétés peuvent être utilisées pour simplifier considérablement la solution des modèles à plusieurs degrés de liberté. On peut montrer que les vecteurs propres ont les propriétés suivantes:

et sont des matrices diagonales qui contiennent la masse modale et les valeurs de rigidité pour chacun des modes. (Remarque: Étant donné que les vecteurs propres (formes de mode) peuvent être mis à l'échelle arbitrairement, les propriétés d'orthogonalité sont souvent utilisées pour mettre à l'échelle les vecteurs propres, de sorte que la valeur de masse modale pour chaque mode est égale à 1. La matrice de masse modale est donc une matrice d'identité)

Ces propriétés peuvent être utilisées pour simplifier considérablement la solution des modèles à plusieurs degrés de liberté en effectuant la transformation de coordonnées suivante.

Si nous utilisons cette transformation de coordonnées dans notre équation différentielle de vibration libre d'origine, nous obtenons l'équation suivante.

Nous pouvons tirer parti des propriétés d'orthogonalité en prémultipliant cette équation par

Les propriétés d'orthogonalité simplifient alors cette équation en:

Cette équation est le fondement de l'analyse des vibrations pour les systèmes à degrés de liberté multiples. Un type de résultat similaire peut être dérivé pour les systèmes amortis.1 La clé est que les matrices modales et de rigidité sont des matrices diagonales et donc nous avons "découplé" les équations. En d'autres termes, nous avons transformé notre problème d'un grand problème de degrés de liberté multiples et lourd en de nombreux problèmes de degré de liberté uniques qui peuvent être résolus en utilisant les mêmes méthodes décrites ci-dessus.

Au lieu de résoudre pour x, on résout plutôt pour q, appelés coordonnées modales ou facteurs de participation modale.

Il peut être plus clair de comprendre si s'écrit:

Écrit sous cette forme, nous pouvons voir que la vibration à chacun des degrés de liberté n'est qu'une somme linéaire des formes de mode. De plus, dans quelle mesure chaque mode "participe" à la vibration finale est défini par q, son facteur de participation modale.

Voir également

Remarques

  1. 1.0 1.1 Silva Maia, Analyse modale théorique et expérimentale (Taunton, Royaume-Uni: Research Studies Press, ISBN 0471970670).

Les références

  • Hartog, J.P. Den. Vibrations mécaniques. New York, NY: Dover Publications, 1985. ISBN 0486647854
  • Inman, Daniel J. Vibration de l'ingénierie. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994. ISBN 0139517731
  • Maia, Silva. Analyse modale théorique et expérimentale. Taunton, Royaume-Uni: Research Studies Press. ISBN 0471970670
  • Rao, Singiresu. Vibrations mécaniques. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990. ISBN 0201501562
  • Thompson, W.T. Théorie des vibrations. Londres, Royaume-Uni: Chapman & Hall, 1996. ISBN 0412783908

Liens externes

Tous les liens ont été récupérés le 20 janvier 2016.

  • Site éducatif sur l'hyperphysique, Concepts d'oscillation / vibration.
  • Modes de vibration normaux d'une membrane circulaire.

Voir la vidéo: CRAZY BASS !! Vibration. Bass boosted House Music Techno BDM Remix BinGo (Avril 2020).

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